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 » On peut avoir d'autres cas d'intégrabilité en donnant d'autres formes 

 au facteur intégrant. Si l'on multiplie (i) par 



M =(jfCose)-'(i + sine)-«(i - sin6)-P[>,(i + sine) + (;.(i — sinG)]^, 



où a, p, p sont des constantes et >. et (a des fonctions inconnues de m, on 

 trouve que M est un facteur intégrant de (i), siX, [a, p vérifient ces équations 



ud[{f-^ \)\P\ = i^\Pdu, ad[{^ — i)^P] = iolilP du, 



"k — [j. = ku ^ , 



k étant une constante. Les deux intégrations s'exécuteut sans difficulté : 

 1° lorsque « = p = o; 2° lorsque /j = i et l'on annule la constante de la 

 première intégration ; 3° lorsque p = o, /? = a ; 4° lorsque « = o, /> ^ — p. 

 On trouve dans ces cas : 



(III) « = a(p + .)'■•+ 6(0 — ly, 



(IV) cM = (p + I + 2a)"(p- I - 2è)'[(a4-6 + 2)p + a — Z»], 



c f ''? 



(V) Cu = - r-^e' 



^ ^ H-a(p — i)'' 



(VI) Cm 



H-A(pH-l)'^ 



a, b, c, C étant des constantes arbitraires liées, ou non, avec les arbi- 

 traires a, p,/>, k. 



» Si l'on donne au facteur intégrant l'une ou l'autre de ces formes 



1 L 



(/+^sin9-(- Asin-9)^ 1 ( f -^ g ûn^^ 



a cos9 a cosO \ i + A sinO 



/, g, h étant des fonctions inconnues de 11, on trouve des équations diffé- 

 rentielles qui s'intègrent facilement. On détermine de cette manière/^ ^, A, 

 et l'on obtient pour p les équations suivantes : 



(VU) (^ + (T^Tjî = "> + ^"' 



(VIII) log A/r/p = '- f %—- - '- f ,fP ^ + C. 



» La dernière formule donne u en fonction de p, avec un nombre fini 

 de termes lorsque c est rationnel, et contient quatre constantes arbitraires, 

 comme (I) et (II). Elle contient aussi, comme cas particuliers, les for- 

 mules (V) et (VI). 



c. R., 1901, I" Semestre. (T. CXXXII, N" 19.) l52 



