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» Ces préliminaires rappelés, revenons aux régulières U et aux groupes 

 réguliers G d'ordre fini. 



» U peut se mettre régulièrement sous une des quatre formes canoniques 



suivantes : 



Uo — \XjbjXj\ = \b^, b.^, b,, b^], 



où r + I = o et a et p désignent des arcs réels dont le rapport à la circon- 

 férence est commensurable : . 



(I) l^'"' ^~'*» ^' ' ^ ' I 1 La régulière U sera de 



(II) [ I, I, e'^, e~'^] r première, ... espèce, sui- 



(III) [e'*, e-'", e'", e-'»] [ vaut que U„ est du type I, 



(IV) [ I, I, -i,-i] ) " 



» Admettons, ce qui est le cas général, que G possède au moins une U 

 de première espèce. Alors H peut régulièrement s'écrire 



H — 'R(x,y) = Ihxy, h = const. positive ou nulle. 



» L'hypothèse où le déterminant | H | = A, ^j A3 A^ de H s'évanouit, mène 

 à des G décomposables déjà construits dans mu Note du 1 1 mars dernier. 

 Si I H I ^ o, on peut régulièrement écrire 



U{x, y) = a(x,y, -+- x.y.,) -+- b{x^y^ + x,y,). 



» Le cas r/^i donne encore des G décomposables. Finalement il viendra 



n{x,y)=lxy = E. 



» Théorème I. — Toute M de G est donnée par les formules 



\5 = k{x,y)-^i'R{x,y), U-' = A'-jB', 



où, les formes réelles bilinéaires A ef B satisfont à 



AA'+BB'=E, T-'AT = A, 



AB'=BA', T-'BT=:-B'. 



» Théorème II. — Toute \] de G peut s'écrire aussi 



(i) ±U = (S^-<7TV'(S-cT), 



où la forme bilinéaire symétrique S est 



S=S(x,y) = ly'^^.ly'^, 



C. R., 1901, I" Semestre. (T. CXXXII, N» 20.) iSy 



