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MÉCANIQUE. — Sur les ondes longitudinales et transversales 

 dans les fluides parfaits . Note de M. P. Duhem. 



« En étudiant les petits mouvements soit des solides isotropes, soit des 

 fluides, Poisson et Cauchy ont prouvé que ces corps ne pouvaient propager 

 que des ondes exclusivement longitudinales ou que des ondes exclu- 

 sivement transversales; les deux vitesses de propagation sont d'ailleurs 

 différentes; dans les fluides, la vitesse de propagation des ondes trans- 

 versales est nulle. Ces propositions s'étendent-elles aux mouvements 

 finis? M. Hadamard (') a prouvé qu'elles ne s'étendaient pas aux mou- 

 vements finis des solides isotropes; nous allons prouver, au contraire, 

 qu'elles sont toujours vraies pour les fluides parfaits, et cela sans sup- 

 poser que les actions sont nentoniennes et sans faire aucune restriction rela- 

 tive à la loi de compressibililé ou à la relation supplémentaire. L'analyse qui 

 nous conduira à ce résultat est celle d'Hiigoniol, convenablement inter- 

 prétée et complétée ; on peut prendre pour point de départ soit les équa- 

 tions d'Euler, soit les équations de Lagrange; ici, nous prendrons les pre- 

 mières. 



» I. Un lemme nous sera utile. Soit S une onde de premier ordre pour 

 une fonction /, dont/,, /, sont les deux déterminations; soient a, (3, y les 

 cosinus de la normale menée vers le côté 2; posons F =y, —f-^; s'il y a 

 propagation avec la vitesse a, il existe une grandeur i telle que, sur l'onde, 



<^') ;te=^'^' J7=^^' -0^=^^^ ^+^^ = o- 



» L'égalité 



dV dF dY dV dY 



dt di O.v Or Oz 



devient, sur l'onde, 



dF 



(2) -^ =^ (xM-H Pt'-hyiv — «)#. 



» H. Soient u, v, w, p, n, T, les variables d'Euler. Pour ces variables, 

 les quantités analogues à F et # seront désignées par 



U, V, W, R, P, T, 



t), ■<?, ^SP. ^, •£, E, 



(') Hadamard, Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXIX, 1901. 



