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d'une des lignes de courbure sphériques, on peut représenter toute surface 

 de Joachimstlial par les formules 



, , ./■ _ >• _ . 1 Sll(H + V) 



''■ ^^ ^ ïmô ^ V'Cli(e-h V)' " ~ " ~ V'Ch(w+ \ )' 



où les Si) el Ch sont des sinus et cosinus hyperboliques; est une fonction 

 arbitraire de 9, V une fonction arbitraire de c, V sa dérivée. 



» Avec ces notations, les rayons principaux R, et R., qui correspondent 

 respectivement aux lignes planes = const. et aux lignes sphériques 

 t' = const. ont pour expressions 



K. = ,/Wfsh-^Ch), R.= -y/Ç(sh_IpCh 



— ( 



nous sous-entendons l'argument + Vdes fonctionshyperboliques et nous 

 posons 



w=:^_, w=-^^, ^ = rrïï^' [^ = m)' ^=^' 



ce qui revient à prendre pour variables © et Y. On n'exclut ainsi que les 

 surfaces de révolution. On voit que, si l'on parvient à déterminer T en 

 fonction de w et W en fonction de V, on obtiendra séparément i> et 0, c'est- 

 à-dire les coordonnées de la surface, au moyen de deux quadratures. 



» Il est aisé d'établir que les rayons R, et R», pour dépendre l'un 

 de l'autre, doivent être des fonctions de 0,, + V„, H„ étant une fonction de 6 

 et Vo une fonction de V. En exprimant cette double propriété, on obtient 

 deux équations qui déterminent, à certaines constantes près, les quatre 

 fonctions inconnues T, W, Q„ et V„. 



» La discussion complète dont nous allons donner les résultats comporte 

 deux cas distincts. Dans les formules qui suivront, nous avons posé ^ = e-®, 

 •/) = e~^^; toutes les autres lettres désigneront des constantes arbitraires, 



» Premier cas. — Les fonctions cherchées sont ainsi définies 



dT _ ?-— {m-j--()i -+■ {c + my) rf? 

 T" ~ ï'-(w-V)?-(c-Hmv) r 



» On voit qu'il n'y aura que deux quadratures distinctes à effectuer 

 pour obtenir les quatre fonctions, car on aura toujours 



