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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Bernoulli. 

 Note de M. G. HJittag-Leffler. 



« Jean Bernoulli a donné déjà en l'année 1694, vingt et un ans avant 

 que Brook Taylor publiât la série qui porte son nom, la formule suivante : 



/(„) _/(o) =/'(«).«-/"(«) :^ +/'"(«) 7:^3 -■• •• 



» Le fameux théorème de Cauchy (Cours d'Analyse, p. 286) nous donne 

 le moven de fixer le domaine de convergence de la série de Taylor. Il est 

 donc naturel de se demander : Existe-t-il un domaine de convergence de 

 la série de Bernoulli, c'est-à-dire un domaine E tel que la série soit tou- 

 jours uniformément convergente pour chafjue domaine situé à l'intérieur 

 de E, mais divergente pour chaque point à l'extérieur de E ? Quel est dans 

 ce cas le domaine E ? 



» Cette question, tout en restant très élémentaire, a un certain intérêt 

 par son rapport avec les recherches nouvelles qui ont été entreprises par 

 moi-même et d'autres sur la représentation analytique d'une branche uni- 

 forme d'une fonction monogène. 



» Écrivons la série de Bernoulli sous une forme qui fait mieux ressortir 

 son rapport avec la série de Taylor. 



« Mettons d'abord /"(«) = F(^ -4- u) et changeons après :; -f- m en x\ Nous 

 obtiendrons alors 



F(.) - F(œ) = F'(^)(= - ^0 + F"(^0 ^^— +r"'(^)^^ +• • •. 



série qui est celle de Taylor, x étant regardé comme constante et z va- 

 riable, et qui devient la série de Bernoulli quand, au contraire, z est re- 

 gardé comme constante et a; variable. 



)) La méthode suivie par Bernoulli pour obtenir cette série reste encore, 

 en y apportant la rigueur moderne, la plus directe et la plus élégante. Il 

 écrit l'identité 



F'(^) - v'(.v) +:f"(^)(^ - =) - F"(^-) 0^- - =) - f""(^) ^-^7^ 



et il obtient sa série en intégrant par rapport à jc. 



