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 » Je suppose maintenant que les constantes Fl^s), F'{z), F"(s), ... 

 soient assujetties à la condition de Cauchy, c'est-à-dire que la limite 



supérieure des valeurs limites de \\/~ — ;F<'''(:;) soit finie (voir ma 



Note Acta math., t. XXIII, p. 23). Je construis l'étoile principale A 

 de centre z appartenant à ces constantes (voir ma Note Acta math., 

 t. XXIII, p. l\S, ainsi que Acta math., t. XXIV, p. 200). 

 » Ecrivons la série de BernouUi sous la forme que voici : 



Y[z + x- z-{x-z)\= V{z + .1: -z)^ V'{z +.r - z) 



^V\z-^.v-z)^-^-'^ 



(^■-;) 



1 . 2 



F-(c + a^-.) ^- ;"- = > ! 



1.2.3 



» En s'appuyant sur les considérations que j'ai employées (^Acla math., 

 t. XXIV, p. 1 91-192), on voit sans peine que cette série possède une 

 étoile de convergence qui est la même que celle de la série 



F[- -^ ■x{x - =)J = F(= + a- - ;) -+- F'(- +x- z) — — ' 



+ F"(:;-4-a--s)^:^^-^=^ 



V"\z+x-z) 



-\ (■^■ 



1.23 



et qui s'obtient de la manière suivante. Fixons un vecteur L issu du 

 point :;. En désignant par r une quantité positive suffisamment petite et 

 en limitant le vecteur à la longueur r, il arrivera que le cercle de rayon r 

 décrit de l'extrémité de ce vecteur limité, comme centre, fera partie 

 de A. Désignons par p la limite supérieure de r. Faisons faire au vecteur L 

 un tour entier autour du point [z, en lui donnant en chaque position la 

 longueur du p correspondant. L'étoile E, qu'on obtient de cette manière, 

 est l'étoile de convergence de la série de Bernoulli. 



» On voit que l'étoile de convergence E de la série de Bernoulli 



F(a.)= F(.) + F'(*-)('^- - ^) - t^'X^O ^"^—f^ + l-""(^) ^^^ri^ +• • • 

 iliffère essentiellement du cercle de convergence C de la série de Taylor 



F(a;) = F(:^) + F'(=)(x--=) + F"( = )^^^ + F"'(^)^-^^f^+.... 



