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>) Mettons, pour avoir un exemple, 



F(j7) = log (1 +a;); :; = o. 



M Le développement de Taylor nous donne 



M Le cercle de convergence ayant le point j; = o pour centre passe par 

 le point singulier a: = — i . Le développement de BernouUi nous donne 



f' ■ ■' ^mk '1. -t- I \ I -1- œ ) 



pL= n 



» L'étoile de convergence E, tout en ayant a; = o pour centre, consiste 

 dans la partie du plan des x qui est située à droite d'une perpendiculaire 

 à l'axe réel passant par le point a; = — ^. 



» Nous avons vu que la série 



Y\z. + i{x — z)\ = Y{z ^x-z)^Y'{z^x- z){x - z) 



+ F"(:: + X - z) L^l-^-^- -4- \'"'(z -+-X- z) ^-^ '/ + . . . 

 ^ 1.2 ^ '^1.2.0 



possède la même étoile de convergence E que la série de Bernoulli. 

 » En mettant ^(x — z) au lieu de a; — :^. on obtient 



M Si l'on suppose toujours z constante et x variable, l'étoile de conver- 

 gence C de cette nouvelle série se déduit évidemment de l'étoile de con- 

 vergence E de la série de Bernoulli, en donnant au vecteur L, dans chaque 

 j)Osition différente, la longueur 2p au lieu de p. 



M 11 mérite d'être remarqué que cette étoile C, comme M. Phragméii 

 vient de le démontrer, est en même temps l'étoile de convergence de l'ex- 

 pression deLaplace 



^ ^ / ^ i . 2 . . . V I . 3 ... V 



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qui a fait dans les dernières années le sujet des recherches si variées, 

 d'abord de M. Poincaré et puis de M. Borel. 



