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 qui, pour ic infini, se confond avec l'intégrale complète 



T(n)= f x"-' e-"- dx. 



» Op désignera par la notation u(n, j:) et l'on étudiera parallèlement la 

 fonction 



u(n,x)= y(n,x)dx. 



» On distinguera trois cas dans cette étude : celui oii n est entier; celui 



où n est égal à un entier augmenté de -> c'est-à-dire de la forme —^ 



k étant entier, et enfin celui où n est quelconque. 



1) I. Cas de n entier. — L'intégration par parties donne immédiatement 



y( /? -H I , a?) = « v(«, x) — x"e~'', 



d'où, par substitutions successives 



^ -^ I —n\ — \.x-" + /ix"'-\-/i(n—j)v"~--h...-+-nin—i)...2x-i-nl]e'. 

 » En intégrant à son tour celte expression de o à x, on écrira 

 ( u(n + i,x) 



( 2 ) 



( =n\x—[y{ii-\'i,x)-hny(n,x)-\-n(n—\)';{n'-},x)-h...]e'\ 



et, remplaçant dans cette relation les y par leurs valeurs, on trouvera sans 

 difficulté 



i ii(n-\-t,x) — nl(x—n— ])-\-\x"-h -^nx"'' -i-'in{n — i)x"~- 



» Les relations (2) ou (2 bis) seront utilisées pour le calcul de 

 //(n + I , x), selon que l'on aura ou non calculé les y au préalable. 



» IL Cas où n est quelconque. — Dans ce cas, les développements qui 

 précèdent ne sont plus finis et les séries qu'ils forment ne sont plus 

 convergentes; il faut donc recourir à une autre méthode. 



» Reprenant à cet effet la formule d'intégration par parties, on écrira 



'.-(n, x) = - [y(n -+- \,x') -+ x"e -^j, 



et, par substitutions successives à n des valeurs « + 1, n -h -i, etc., on 

 obtiendra 



