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» C'est surtout à M. Borel qu'on doit une étude approfondie de la con- 

 vergence de cette formule de représentation. Mais M. Borel ne s'est occupé 

 que de la convergence absolue, et la question du domaine de convergence 

 simple n'a pas été disculée, à ce qu'il semble ( ' ). Celte question est cepen- 

 dant d'une grande simplicité, et peut être traitée en deux mots. 



» On démontre facilement, en effet, que le domaine de convergence de 

 cette intégrale (i ) possède toujours l'une des deux propriétés qui, d'après 

 la définition de M. Miltag-Leffler, caractérisent une étoile. Cette propriété 

 peut s'exprimer par le théorème suivant : 



» Théorème I. — Si .t,, est l'affixe d'un point de convergence pour l'inté- 

 grale ( I ), tout point dont l'affixe peut s'écrire 



oc = fix„, 

 avec la condition 



o<9=r, 



en aussi un point de convergence. 



» Voici la démonstration de ce théorème fondamental. 



» D'après l'hypothèse, l'intégrale (i) converge pour x =z x^. Posons 



F(a.r„) = (?(«) -f- jJ;(a), 

 (p(«) et ']'(«) étant réels. Les deux intégrales 



f ^(a)e'"da, f ^(a)<r"da 



convergent, et il s'agit de démontrer que les intégrales 



f ff(Oa)e-"da, f ']^((ia)e~'' da 



convergent de même pour o-<9;;i. Considérons par exemple la pre- 



(') Il faut toutefois rappeler les recherches relatives à la formule célèbre de Rie- 

 manu 



logÇ(5) 



-/■- 



r) .r"*"' dx 



et aux. formules analogues, ainsi que celles qui ont rapport aux séries de Diriclilel- 

 Dedekind I,\a\k}\ 



