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 mièi e. On a 



= -/ e ^'^ >o(a)e~"da= — r / ''j(a)cr"da. 



a désignant une certaine valeur entre a, et a,. C'est une application du 

 second théorème de la moyenne pour les intégrales définies. 



» Il s'ensuit immédiatement que l'intégrale / {p(8«>~"rfa converge 



pour o<^95i, et même qu'elle converge uniformément, pour h^(i<i, 

 S étant positif. 



» Dans le même ordre d'idées, on démontre facilement plusieurs autres 

 théorèmes; mais l'espace restreint ne me permet que d'énoncer quelques- 

 uns des plus simples. 



)) Théorème II. — La /onction que représente, d'après le théorème I, l'in- 

 tégrale (i) sur le rayon OV formé des points a; = 6a;o(o << 9 < i ), est égale à 

 une fonction monogène, régulière à l'intérieur d'un cercle décrit sur OP comme 

 diamètre. 



» Théorème III. — Dans le cas où la série 



possède un rayon de convergence différent de zéro, le domaine de convergence 

 de l'intégrale ( i ), où l'on a fait 



T^/ \ '^•"^ iax)- 



Y(ax)=^c^-^c^Y -^-'^s— 1^ -f-..., 



est une étoile et coïncide avec le domaine de la convergence absolue (^polygone 

 de sommabilité) déterminé par M. Borel, abstraction faite, bien entendu, des 

 points situés à la limite. 



n Théorème IV. — Puisqu'on a identiquement, dans le cas indiqué au 

 théorème llf. 



d 

 da 



^"'2^]I ^^^ + c, ^ + c.x-- ^-. . . + cx., a?'-' ) 



'(c. 



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