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On a les relations svmétriques connues : 



» Si donc réqualion île c est mise sous la forme différentielle 



(3) FI 



'I'- /: ! 



(ce qu'on reconnaît aisément être toujours possible), l'équation de c^ n'est 

 autre que 



» Pour que ces deux équations soient identiques, il faut et il suffît que 

 la relation (3) soit symétrique par rapport à ses deux arguments. Sous 

 cette unique condition, elle constitue l'équation générale cherchée. 



» Cette équation, toujours intégrable si l'on spécifie la fonction F, ne 

 l'est pas sous sa forme générale, bien qu'on la rende facilement homogène 

 par une substitution linéaire. 



)) Si l'on rapporte la conique directrice à ses asymptotes {xy = A-) ou à 

 deux diamètres conjugués (a* dz y- = a- ), on obtient les formes 



d'où cet énoncé : 



» Les lignes planes autopolaires sont définies par une relation symétrique 

 entre l'abscisse (ou l'ordonnée) et la sous-tangente. 



» En supposant que la directrice est un cercle ou une hyperbole équi- 

 latère, on trouve des lignes définies, en coordonnées polaires, par une 

 relation symétrique entre le rayon vecteur et la normale polaire ou entre 

 le rayon vecteur et la tangente, et qui fournissent, par projection, toutes 

 les autopolaires planes. 



» Posons-nous maintenant le même problème dans l'espace, et cher- 

 chons d'abord les surfaces autopolaires par rapport â la quadrique direc- 

 trice 



/(x,y,z.) = o; 



appelant x, y, z les coordonnées d'un point de la surface s et ^,,!X,.^^, 



