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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Fourier. Note 

 de M. A. HuRwiTz, présentée par M. Picard. 



« Dans la Communication sur le problème des isopérimètres que j'ai 

 eu l'honneur de faire à l'Académie, le i8 février dernier, j'ai applicpié 

 une formule, d'ailleurs très connue, concernant l'intégration du produit de 

 deux séries trigonométriques. 



» En étudiant les conditions sous lesquelles cette formule est exacte, j'ai 

 trouvé le théorème suivant, qui me semble être remarquable par sa géné- 

 ralité et qui donne un complément important à ma Note du i8 février. 



» Soient /(^x) et cp(^) deux fonctions assujetties aux seules conditions 

 d'être bornées et intégrables dans l'intervalle o^ic^air. 



» Formons les séries de Fourier 



^«0 H- -(«« cosnx -\- n\^ %innx), 

 i^o H- 2(6„ cosraa; -h h\^ sin nx), 



appartenant à ces fonctions f (^x^ et <p(a;) respectivement [sans nous préoccu- 

 per de la convergence ou de la divergence de ces séries). 

 » Alors la série 



est convergente et l'on a 





dx. 



» Parmi les applications de ce théorème je signale les suivantes : 



» 1. Désignons par Xg, x, deux arguments satisfaisant aux inégalités 



= ^0 <^ ^1 = 2- 



et définissons la fonction «p(x) en posant 



<p(a;) = o, 9(37) ^TT, (^(x) = o, 



selon que o'^x^x^, ou x^^<::^x <Cx,, ou enfin x,^x^2.t:. 



» Alors notre théorème se particularise évidemment comme il suit : 

 » Si la fonction f{x) est bornée et intégrable dans l'intervalle o^x'Sit:. 



si de plus a„, a'^^ désignent les coefficients dans la série de Fourier appartenant 

 C. R., 1901, I" Semestre. (T. CXXXII, N» 24.) 190 



