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 à /(x), on a 



f f{x)dx 



= -a,(x, -x,) + 2é [''- —i - «« -Jz ' 



» Autrement dit : si l'on intègre la série de Fourier appartenant à/Çx) 

 terme à terme, on obtient toujours une série convergente représentant l'inté- 

 grale de f{x'). 



» Ce théorème est à rapprocher des recherches de M. Dubois-Reymond 

 sur l'intégration des séries de Fourier {Mathem. Annalen, Vol. XXII, 

 p. 260). 



» 2. Remplaçons, dans notre théorème, '^(x), soit par r^(x)cosmx, 

 soit par r^(x) sinmx, où m désigne un nombre entier. 



» En tenant compte de l'équation 



I r^" 



- / tf(x)cosmxcosnx dx 



= — / (f(x)[cos(m — n)x -h cos(m -h n)x}dx, 



et des équations analogues, on voit que notre théorème permet d'exprimer 

 les intégrales 



-j f(x) (f(x)cosmxdx et - j /(x) (^(x) sinmx dx 



parles coefficients a„, a'^, b„, b'^. Ainsi, sous la seule hypothèse que les 

 fonctions f{x) et 9(3?) soient bornées et intégrables, on peut former 

 la série de Fourier relative au produit /(a;) (p(a;) lorsqu'on connaît les 

 séries de Fourier appartenant aux facteurs /(a;) et 9(3?). 



» C'est, au fond, le résultat auquel est parvenu M. C. Bourlet dans une 

 Note très intéressante insérée au Bulletin des Sciences mathématiques, 

 2* série, t. XIII; 1889. Mais, si je ne me trompe, les considérations de 

 M. Bourlet ne sont pas tout à fait générales, parce que l'équation de 

 Dirichlet 



)™rr(j)^rfj = =F(o) 



exige des conditions spéciales pour la fonction F(/), même si l'on suppose 



