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l'intérieur d'une sphère de rayon fixe, mais assez petit, ayant pour centre 

 un point quelconque O pris sur la surface, n'ait jamais plus d'un seul point 

 commun avec une parallèle à la normale en O. Cela posé, soit 9 une fonc- 

 tion continue donnée définie sur la surface (S) et 1 un paramètre variable. 

 On peut, en s'appuyant sur les belles métholes introduites par M. Poin- 

 caré dans la théorie des équations de la Physique, établir les propositions 

 suivantes : 



» Il existera un potentiel généralisé de simple couche «, fonction ana- 

 lytique du paramètre 'X, vérifiant l'équation 



et ayant pour nombre caractéristique un nombre donné u, réel et non 

 négatif II existera aussi un potentiel généralisé de double couche i>, fonc- 

 tion analytique du paramètre 1 et ayant aussi le nombre a pour nombre 

 caractéristique, tel que l'on ait 



( 0< -(*').= >-[(0:+ (Oc] +'-^?- 



» Les fonctions u et i', en tant que fonctions de 1, seront des fonctions 

 analytiques, n'admettant, à distance finie, dans le plan de la variable 1, 

 d'autres points singuliers que des pôles simples; ces pôles seront tous réels 

 et feront partie d'un ensemble dénombrable ne dépendant que de la sur- 

 face (S) et du nombre jj.; enfin les résidus polaires des fonctions u et v 

 seront exprimables par des combinaisons linéaires et homogènes, à coef- 

 ficients constants, de fonctions qui, pour m = o, se réduisent aux fonctions 

 fondamentales ( ' ) de M. Poincaré et qui forment un ensemble dénombrable, 

 ne dépendant que de la surface (S) et du nombre [j.. 



)) Les propositions précédentes conduisent à une démonstration géné- 

 rale des méthodes de Neumann et de Robin ; elles sont une généralisation 

 et un complément de celles que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Aca- 

 démie des Sciences de Cracovie le 4 mars 1901 . « 



(') Poincaré, La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet {Acla mathe- 

 matica, 1896). 



