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aura une direction et une grandeur sensiblement constantes par rapport 

 à ces axes et, par conséquent, dans l'espace. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur le premier invariant différentiel projectif 

 des congruences rectilignes. Note de M. Emile ^Vaelsch, présentée par 

 M. Darboux. 



« Dans des Notes récentes (' ), MM. Demoulin et Cosserat viennent de 

 publier plusieurs résultats se rapportant aux congruences rectilignes. On 

 peut généraliser ces derniers en prenant comme point de départ la théorie 

 des invariants différentiels des congruences pour le groupe projectif. 



» On peut arriver à l'invariant du deuxième ordre d'une congruence 

 pour ce groupe de la manière suivante C). Soient M et M' les deux 

 points focaux d'un groupe G de la congruence, P et P' les plans focaux de 

 ce rayon ; ils sont tangents à la surface focale respectivement aux points M 

 et M'. On considère maintenant le faisceau des rayons qui passent par le 

 point M et qui sont situés dans le plan P'. A chaque point de la surface 

 focale correspond ainsi un faisceau; les faisceaux correspondants aux 

 points voisins de M se trouvent dans un complexe linéaire C, qu'ils déter- 

 minent. Pour le point M', on trouve par le même procédé le complexe 

 linéaire C. 



» Ces deux complexes C et C ont un rapport anliarmonique S, qui est le 

 seul invariant différentiel du deuxième ordre de la congruence pour le groupe 

 projectij. 



» On peut définir cet invariant d'une autre manière. La surftice focale 

 de la congruence a deux tangentes asymplotiques au point M et également 

 deux au point M'. On a alors quatre rayons de la congruence voisins du 

 rayon g et pour lesquels un des points focaux se trouve sur une de ces tan- 

 gentes asymptotiques. Ces quatre rayons, éléments de la multiplicité des 

 rayons voisins du rayon g, ont un rapport anharmonique S'. Entre B et S', 

 on a la relation suivante 



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(') Voir les séances du 29 janvier et du 12 février. 



(^) Voir mon travail : Zur Infinitesimalgeometrie der Strahlencongrueiizen 

 {Sitzungsber. der k. Akad. zu Wien, t. C; 1891). 



