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» Si S = I , les deux complexes C et C se confondent; alors S'=: o, et 

 les asymptotiques de la surface focale se correspondent. 



» Si S = — I, on a S' = — I, et les tangentes asymptotiques d'un point 

 focal correspondent à deux tangentes conjuguées de l'autre. 



» Il existe des congruences pour lesquelles l'invariant S est constant 

 pour tous les rayons. Il prend la valeur i pour les congruences de Ribau- 

 cour. Pour la congruence desmique du deuxième ordre et de la sixième 

 classe, il a la valeur neuf. 



» Cet invariant projectif s'exprime simplement par des invariants diffé- 

 rentiels pour le groupe de mouvement. Si D est la distance de deux points 

 limites du rayon g, et si R,, R^; R',, R'^ sont les rayons de courbure prin- 

 cipale de la surface focale aux points focaux M et M', on trouve la relation 

 suivante (') : 



> R,R.,R', ru 



= 



)) Cette relation donne pour (5 = i la propriété des congruences de Ri- 

 baiicour, trouvée par M. Demoulin, et ces congruences étant caractérisées 

 par S = I, on trouve aussi le théorème inverse de M. Cosserat. 



» Mais pour S =: — i on trouve que la relation 



Ri R2K1 R^ 



■" I — ^, 



a lieu non seulement pour un rayon de la congruence pour laquelle les 

 tangentes asymptotiques du point M correspondent aux tangentes princi- 

 pales du point M', mais encore lorsque les tangentes asymptotiques de M cor- 

 respondent à des tangentes conjuguées de M'. Le théorème inverse est aussi 

 exact; car, cette relation étanb satisfaite, on a S = — i, et les asymptotes 

 correspondent à des tangentes conjuguées. 



» Pour une congruence formée des normales d'une surface on trouve 

 dans le travail cité la relation 



<^ RiRaR.Rl 



o = z^ — -1 



oti d (ici égal à D) est la distance des deux centres de courbure principale 



(') Le rapport anharmoniqiie de deux complexes linéaires peut prendre les deux 

 valeurs 5 et ^; je désire remarquer que, d'après la relation donnée, l'invariant mé- 



I 

 \.Y\i\\ie. rationnel p-^^ ^ est égala une valeur de cet invariant \iVo\itc\.\i irrationnel. 



