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comment l'hypothèse d'une commensurabih'té plus ou moins exacte peut 

 affecter la stabilité du mouvement. 



» Pour aborder ce problème, j'étudie le mouvement d'un point matériel 

 de masse nulle (petite planète) sollicité par un corps central (Soleil) et 

 par une masse décrivant autour du centre une orbite circulaire (Jujiiter), 

 en supposant les mouvements plans et l'orbite de la petite planète peu dif- 

 férente d'un cercle ('); je suis amené à intégrer une équation différen- 

 tielle du second ordre, à coefficients périodiques, analogue, bien que plus 

 compliquée, à celle que notre confrère M. Tisserand a étudiée {Comptes 

 rendus, t. CXIV, p. ^l\l). L'intégration de cette équation étant faite par 

 les procédés de Laplace (-). la condition nécessaire pour la stabilité est 

 obtenue sans peine. 



» Je citerai deux résultats : 



» Dans le cas de Jupiter et d'une petite planète, le rapport des moyens 

 mouvements étant voisin de ^, il existe une zone d'instabilité, située un peu 

 au delà âe la région répondant à la commensurabilité exacte; cela s'ac- 

 corde avec le caractère de la lacune présentée par les petites planètes. 



M Dans un autre cas, qui se rapporte à Titan et Hypérion, les deux satel- 

 lites de Saturne, le rapport des moyeris mouvements étant voisin de J, il 

 existe une zone d'instabilité, située notablement en deçà de la région ré- 

 pondant à la commensurabilité exacte; de sorte que, Hypérion circulant 

 à très peu près dans cette région, la stabilité de son mouvement est cepen- 

 dant possible. Il y a plus : la proximité des deux orbites parait avoir pour 

 effet d'augmenter la distance entre la zone d'instabilité et la région de 

 commensurabilité exacte. 



» Les équations différentielles du mouvement de la petite masse 

 sont : 



d-x __ , dr _ dd' 

 'd^ ^"' tt ~ 1^' 

 d'-y , dx do! 



dC- ^-" dt ~ dy' 



on a 



"' = 7+^'(x-|i)+^""(^^+^^)5 



(') A un point de vue un peu difTérent, cette question a été l'objet des travaux de 

 MM. Hill, Tisserand, Poincaré {Mémoire couronné sur le problème des trois corps). 



(-) Voir, par exemple, OEuvres, t. IX : Mémoire sur l'intégration des équations 

 différen tielles par approximation. 



