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 graies. C'est ainsi que, dans la théorie des équations différentielles 

 linéaires, elle permet de former ce qu'on a appelé les invariants relatifs 

 aux points singuliers, et de se rendre compte immédiatement de la nature 

 de la dépendance analytique entre ces invariants et certains paramètres 

 figurant dans les coefficients de l'équation linéaire. Mais c'est un sujet 

 spécial que je ne veux pas aborder ici, et je me propose aujourd'hui de 

 reprendre la démonstration d'un théorème très général, relatif aux équa- 

 tions différentielles renfermant des paramètres arbitraires, qui a joué un 

 rôle capital dans les recherches de M. Poincaré, sur les solutions pério- 

 diques des équations de la Dynamique (' ). 



» 1. Plaçons-nous, uniquement pour simplifier l'écriture, dans le cas 

 d'une seule équation et d'un seul paramètre. Soit l'équation 



(0 ■ ^=/(-.:-0- 



)) Envisageons la solution de cette équation 



qui s'annule pour /=o. Soit, pour [^.=o, la solution 6(«, o) que nous allons 

 supposer être continue de / = o à / = ;„. De plus, on admet que f{x, [j., t) 

 peut, pour t, compris entre o et /„, être développée suivant bs puissances 



de 



(7. et X — 6(/, o), 



les coefficients du développement étant des fonctions continues d'ailleurs 

 quelconques de /. 



» M. Poincaré a établi que l'intégrale 



Kl' !^) 



peut se développer suivant les puissances de jjl, pourvu que (a soit suffisam- 

 ment petit, pour toute valeur de t comprise entre o et /„. 



)) Notre confrère rattache la démonstration de ce théorème à la méthode 

 de comparaison désignée sous le nom de calcul des limites. Nous allons 

 voir que la méthode des approximations successives conduit de la manière 

 la plus simple à la proposition qui vient d'être énoncée. 



» Tout d'abord on ne restreint pas la généralité, en supposant que 



(') H. PomcAnÉ, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. 1, p. 53 el 

 suivantes). 



