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6(/, o) est identiquement nul, ce qui revient à faire un changement de 

 fonction. Nous plaçant donc dans cette hypothèse, la fonction /(ar, [j., t) 

 sera ordonnée suivant les puissances de œ et jx pour \x\ et ]ij.\ suffisam- 

 ment petits, quel que soit t compris entre o et /„. Posons 



/(a-, [;., t) = Aœ + By. + . . . , 



les coefficients étant des fonctions de t. Nous poserons 



ce r= jx II -+- a:' e^' ''' , 



u désignant la fonction de t satisfaisant à la relation 



et s'annulanl pour / = o. L'équation proposée se transforme en la sui- 

 vante 



dx' 

 (2) -^ = A, j;'-+ 2B,a--';j.-l- C,[J!.--^ .... * 



qui est de même forme, mais où il n'y a pas de terme du premier degré 

 en x' et [/.. Les coefficients du second membre sont des fonctions de t con- 

 tinues de / := o à / = /„, et ce développement peut être regardé comme 

 absolument convergent pour toute valeur de x' et de a, telle que 



p et r étant deux constantes fixes. 



» Nous avons à chercher l'intégrale de l'équation (2) s'annulant pour 

 ; = o. Représentons l'intégrale par la série que donnent les approxima- 

 tions successives; cette série converge certainement depuis f = o jusqu'à 

 la valeur de t correspondant à la plus petite des deux cjuantités 



t. et j|, 



en désignant par M la valeur absolue maxima du second membre de (2) 

 pour 



o</</„ et lîc'i^p. 



Or nous pouvons prendre comme nombre M le maximum de la série 



iA.lp='+2lB,]p/-+|C.|/--^ + .... 



