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 pour t compris entre o eL ^g. Mais, si nous considérons le quotient 



|A,|p=+2lB,|p/- + |C,|/-' + ...' 



nous pouvons donner à ret a des valeurs indépendantes suffisamment pe- 

 tites pour que ce quotient soit supérieur à 1,^. La convergence de la série 

 donnée par les approximations successives sera donc assurée depuis / = o 

 jusquà l ^ t„, sous la condition | [■'- 1 <i ''• 



» Chaque terme de cette série est une fonction holomorphe de [j. dans 

 le cercle de rayon r, et comme son module est moindre, d'après la théorie 

 générale, que le ternie général d'une progression géométrique décroissante, 

 il est immédiat que la série est elle-même fonction holomorphe de a pour 

 \[j.\<^r : c'est le théorème que nous voulions établir. 



» "2. Ce théorème se généralise immédiatement, en employant les 

 mêmes considérations. Soit toujours l'équation 



dx 



la fonction f{cr, a, t) étant définie pour t compris entre o et t^ et étant 

 fonction holomorphe de x et [j. pour |.x'| et |[;. | assez petits. L'intégrale de 

 cette équation prenant pour ^ ^ o la valeur x^ sera continue de / = > à 

 / = /„ et développable en série ordonnée suivant les puissances de x^ et a 

 pourvu que |a:o| et | [j.\ soient suffisamment petits. 



» 3. On peut obtenir des théorèmes analogues aux précédents en con- 

 sidérant des équations où les intégrales soient déterminées par des condi- 

 tions initiales de nature différente. Soit, par exemple, l'équation 



OÙ y est une fonction analytique de y, -j-, •/.. Nous avons, pour a = o, 

 l'équation 



Soit une intégrale de cette dernière équation, continue ainsi que sa dérivée 

 première de a à /', et prenant pour x = a la valeur A et pour a; = 6 la va- 

 leur B. On ne peut ici énoncer, sans restriction, que l'équation (3) ad- 

 mettra pour (x petit une intégrale prenant en a et i les valeurs A et B; la 

 chose peut être inexacte, comme le montrent des exemples faciles à ob- 



