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1) Pour que le système (1) soit équivalent à un système de Lagrange 



il faut et il suffit que les équations (I) ou (II) admettent une intégrale du 

 second degré T(.r, . . . , x„, .r\ œ]^) appartenant à la classe générale. 



» A chaque forme T correspondent un système (II) et un système (I). 

 Ces systèmes jouent un rôle important dans la transformation des équa 

 tions (3), comme je le montrerai dans une publication prochaine. Voici, 

 par exemple, comment ils conduisent aune solution nouvelle d'un pro- 

 blème fondamental résolu par M. Lipschitz : Trouver les conditions néces- 

 saires et suffisantes pour que la forme T soit la transformée d'une forme 

 quadratique To à coefficients constants. 



» Je rappelle d'abord le théorème suivant : Soit 



5/ la fonction T satisfait à une équation de la forme 



2M,(^,^')^=o. 



i 



où M, désigne une forme linéaire en x\ . . . x\^, on a forcément i identité 



i;w'^-i;i:^",.'v.(/). 



les l,f, étant indépendants des x' (la sommation du second membre ne s'étend 

 qu'aux combinaisons des indices i et k). En particulier, si les M sont nuls, il 

 en est de même des quantités 1. 



» Ce théorème n'est que la traduction algébrique de propositions de 

 M. Sophus Lie, sur les transformations linéaires, qui laissent invariante 

 une forme quadratique. Cela posé, pour que la forme T soit réductible à 

 la forme T^, il faut et il suffit que l'on puisse déterminer une transfor- 

 mation 



X, = F,(a-....^„). x;=2;^'^; (X-=..2,....«). 



faisant correspondre au système II le suivant : 



âf df 



