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 en d'autres termes, il faut et il suffit que le système II admette n intée^rales 

 du premier degré de la forme 



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Or ces intégrales sont données par un système d'équations aux dérivées 

 partielles de forme bien connue 



La condition cherchée est donc que ce système soit complètement inté- 

 grable. 



» Il est d'ailleurs aisé de voir que cette condition équivaut à la sui- 

 vante : 



» Pour que la forme T soit réductible à une forme quadratique à coefficients 

 constants, il faut et il sujfit que le système (II), qui lui correspond, soit un 

 système complet : 



(III) (S,,S,)-S,S,(/)-S,S,(/) = o (/,A- = 1.2, ...,«). 



En vertu du théorème rappelé, on a l'identité 



(S,,S,) = 2]2(' n»Vp(/) (') {i,k = ,,i,...,n) 



f . A désignant une fonction de x...x^ facile à calculer. De là on dé- 

 duit que les conditions cherchées peuvent prendre la forme 



(Tir) (^ [) = o (a,^/,/?- = i,2, ...,n). 



Ces conditions ne sont, d'ailleurs, pas toutes distinctes. Le système (III) 

 est un système invariant. Ce résultat équivaut, au fond, à celui de M. Lip- 

 schitz, mais je ne puis le montrer dans cette courte Note. 



» Comme conséquence intuitive du théorème établi au début, je signale 

 encore ce fait connu. Si les équations (3) sont équivalentes au système de 

 Lagrange, déduit d'une seconde forme T, (de la classe générale), forcé- 

 ment T et T, ne diffèrent que par un facteur constant, pourvu que le sys- 

 tème (II) ne soit pas un système complet, condition dont on a vu la signi- 

 fication. » 



(') La sommation s'étend ici aux combinaisons des indices i et p. 



