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niédiatement de formules classiques, savoir 



a) sn(ar,k') =~ ^-J^jg^, b) sn(^, i) = -.■A-'-A^/, 

 (3) { . ^ ^ 



-c) sn hr, -r- = - «yt — 7^ ^> a) sn a-, yy -— A — ) 



il suffira dès lors d'établir, relativement à la fonction de deuxième espèce, 

 une seule des quatre formules de transformation correspondantes de l'un 

 ou de l'autre des deux groupes suivants (4) ou (5) : 



a) Z (x, k') =x +(y — iJ) -h iZ(ix + K -t- jK', k) ; 



^^> ^c) Z(^,f)=a:-ij + iz(f + K,A-); 



» A cet effet, faisant pour un instant a; = ix' , à'oix a;'= — ix, on aura 

 tout d'abord, en vertu de formules classiques, 



/ ■ii\ cn(4-'^ 



dn ix,--r] = 



^' dn(|,/r') dn(^,yt') ^^irj^k 



X 



=r sn ( ^ -1- K, ^- j = sn ( -^ + K, /t j , 

 et, par suite, eu égard à la définition de la fonction l'^x), 



- ^ ("' t) =X'^/- -/" (tT-^^ (-'t) ^- =/' V - (t)^^»^ (■^•' t)] d- 



= / an- i X , -^\ dx ^= l sn- ( -^ + K, A' ) f/a?. 



La substitution linéaire r = -7- -h K, d'où dx = — ikdz, donnera donc 



X - z(x, ^) = f\n-z(- ik)dz= ~fr k-sn^zdz -j' k-sn-zd: 

 [Z(.,/)-Z(K,/t)] = :^[z(f+K,/t)-j], 



K 

 — l I 



T 



