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algébrique; il viendra un nombre fini de résultats et chaque combinaison 

 fournira une certaine somme d'équivalents iC; on prendra la plus grande 

 somme pour l'introduire dans la formule (o). n sera effectivement limité. 



» i(£ devient illimitée : i° lorsqu'il existe des pivots de la seconde caté- 

 gorie, dont l'équivalent est illimité; 2" quand il existe des lignes pivotales, 

 car il y a alors dans la somme iC un nombre illimité de termes. Ces deux 

 cas appellent des recherches plus approfondies qui feront, j'espère, l'objet 

 d'une Communication ultérieure. 



» Le détail de ma méthode de limitation pour n, sur des surfaces S à 

 singularités élevées, est exposé dans un travail assez étendu, qui paraîtra 

 dans un prochain Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Les fonde- 

 ments de la théorie sont empruntés soit aux publications d'Halphen sur les 

 courbes algébriques, leur classification et leurs cycles, soit aux recherches 

 classiques de Briot et Bouquet, de MM. Poincaré et Picard, etc., sur les déve- 

 loppements en séries des intégrales de l'équation différentielle du premier 

 ordre, le tout, bien entendu, notablement approprié à mon objet spécial. 

 Mon procédé pour la réduction successive de la singularité du pivot n'est 

 pas sans analogie avec les recherches de M. Kobb (^Journal de Mathéma- 

 tiques, 1892) sur les points singuliers des surfaces algébriques. 



» Comme application, j'ai étudié complètement le pivot, sur une surface 



d- F 

 S Yi^z^, z^, z^, z,,^ = 0, pour lequel une au moins des -j — y- ne s'évanouit 



pas, les , ,_ , éiant quelconques. 



» Il y a douze types de pivot, savoir : dix delà première catégorie et 

 deux de la seconde. Pour les dix premiers, l'équivalent ne dépasse pas 

 zéro. 



» Dans la seconde catégorie, nous rencontrons d'abord le /îceM<f ordi- 

 naire dont j'ai déjà fait une étude approfondie (Note du 23 janvier iSgS); 

 l'équivalent ne dépasse pas 



n^mm'-h ^(m -+- m'), 



où m et m' sont des entiers positifs connus, n est un entier illimité, posi- 

 tif. 



» Pour le second pivot de la deuxième catégorie, l'équivalent est 

 (i(c — 2), l'entier positifs étant illimité. 



» Pour les douze types, les entiers a et ^ sont nuls; l'intégrante G se 

 construit par le procédé indiqué dans ma Note du 9 novembre 1891. Si S 



