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soient N — uy, N — «),_,, . . , N — m,, IN — u„ les nombres différenls qui 

 expriment les degrés des divers groupes d'ordre //"'. j>"' . .... pp contenus 

 dans G : l'ordre ç du groupe G divise le nombre 



.a., = (N - «0(N - uy_,)...(^ - «,)(N - "„). 



» m. L'ordre fj' d'un groupe G de classe N — u^ et de degré N divise le 

 produite = N(N — i)...(N — ?/„). 



» IV. Dans la formule (i) de M. Sylow, quand m^i et /2 <^/>, G est 

 composé et ne peut être primitif que s'il est linéaire et de degré/?®. 



« V. Dans la formule (i) de M. Sylow, quand m^ i et quand G con- 

 tient une substitution d'ordre p'", G ne peut être simple ou primitif que si, 

 dans la formule (2), n,„7=o. 



» Les résultats ci-dessus seront établis et développés dans un Mémoire 

 qui paraîtra prochainement. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' intégration des équations aux dérivées 

 partielles du second ordre à deux variables indépendantes. Note de M. J. 

 Beudo.v, présentée par M. Picard. 



« 1. Le nombre des équations aux dérivées partielles du second ordre 

 dont l'intégration a été ramenée à l'étude d'équations différentielles ordi- 

 naires est très limité. On doit à M. Darboux une méthode qui est appli- 

 cable dans des cas très étendus, mais on ne l'a pas souvent utilisée. La 

 théorie des groupes de transformations de M. Lie permet de trouver des 

 types d'équations pour lesquelles l'intégration est particulièrement aisée. 



» En effet, si une équation aux dérivées partielles du second ordre admet 

 un groupe de transformations dépendant d'une fonction arbitraire d'un 

 seul argument, la considération des invariants différentiels de ce groupe 

 permettra d'adjoindre à l'équation proposée une autre équation ayant 

 avec elle une solution commune dépendant d'une fonction arbitraire; or, 

 c'est là le principe même de la méthode de M. Darboux. 



» Ces considérations m'ont conduit à la recherche de tous les groupes 

 ponctuels infinis de l'espace à trois dimensions, en prenant pour guide le 

 Mémoire de M. Lie relatif aux groupes du plan {Ueher unendliche conli- 

 nunliche Gruppen, Christiania, i883). Pour obtenir, en particulier, tous 

 les systèmes d'équations du premier ordre susceptibles de définir les 

 formes canoniques des transformations infinitésimales de ces groupes, il 



