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 suffit d'écrire les équations de définition du premier ordre des différents 

 groupes linéaires et homogènes à trois variables. Les équations que l'on 

 obtient ainsi s'intègrent très facilement, et l'on peut former le tableau des 

 groupes infinis à trois variables. 



» On peut déduire de ce tableau la solution générale d'un problème 

 traité par M. Picard [Swr certains systèmes d'équations aux dérivées partielles 

 généralisant la théorie des fonctions d'une variable complexe (^Journal de 

 Mathématiques, 1892)], et qui consiste à trouver un système de m équa- 

 tions différentielles définissant n fonctions P, , . . . , P„ de « variables x^, — 

 x^ de telle façon qu'un second système de solutions Q,, Q, Q„ com- 

 plètement arbitraire étant choisi, les fonctions P considérées comme fonc- 

 tions des Q, satisfassent aux mêmes équations. Il suffira, pour avoir tous 

 ces systèmes dans le cas de trois fonctions, de considérer tous les groupes 

 à trois variables, et d'égaler les systèmes fondamentaux d'invariants à la 

 valeur qu'ils prennent pour la transformation identique. Le problème 

 précédent revient d'ailleurs à la recherche de tous les groupes infinis pour 

 lesquels les équations de définition ne contiennent pas explicitement les 

 variables, et M. Picard a établi (7oc. cit.) que cette recherche se ramène à 

 celle de certains groupes finis. 



» 2. Si une équation aux dérivées partielles du second ordre admet un 

 groupe infini de transformations ponctuelles, on pourra toujours recon- 

 naître à quel type il appartient, et l'on sera ramené au problème de la ré- 

 duction de ce groupe à sa forme canonique; M. Lie a donné les éléments 

 de la solution de ce dernier problème [Classification und Intégration von ge- 

 Vi'ohnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von 

 Transformationen gestatlen (^Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 

 Christiania ; 1882)]. 



» La réduction une fois effectuée, on peut appliquer sans peine la mé- 

 thode de M. Darboux, ainsi que vont le montrer les deux exemples sui- 

 vants. 



» Considérons l'équation 



(i) s = p'^{y,z,q,l) 



qui admet le groupe infini a ' = \(^x), y' ^y. z' ^ z. Adjoignons-lui l'é- 

 quation 



(2) q=\{y,z), 



qui admet aussi le groupe infini donné. Si les équations (i) et (2) ont une 



