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GÉOMÉTRIE. — Sur le rapport conique et la relation conique. 

 Note de M. Mozat, présentée par M. Poincaré. 



)) Soient, sur une droite, dix points quelconques accolés deux à deux, 

 aa', bb', ce', dd', ee' et une conique quelconque tangente à la droite en un 

 point O. De a et a', je mène les tangentes à la conique et, par leur inter- 

 section, je détermine un point A. Je détermine de même les points BCDE, 

 en partant des points bb', ce', dd , ee' . Le rapport anharmonique 

 (E. A, B, C, D) est constant lorsqu'on fait varier la conique et lorsqu'on 

 fait varier son point de contact. 



I) Ce rapport anharmonique constant est appelé le rapport conique des 

 dix points aa' , bb' , ce' , dd, ee' . Il est exprimé par la notation 



(ee'; aa', bb' , ce, dd' ) = (E. A, B, C, D). 



» Si aa', bb', ce', dd' restent constants et que ee' varient, on aura sur 

 la droite une série de points en relation conique (le rapport conique 

 (ee'; aa', bb', ce', dd ) restant constant). 



» Si X el y sont les distances respectives des points variables ee' , à un 

 point fixe de la droite, on aura, entre a; et j, la relation suivante qui est 

 l'équation générale de la relation conique : 



Ma;^y^ + ^ccv -+- VxY(jr--hy) -l- Q -+- R(a7 -i-yf -h S(.r -hy) = o. 



1) Le rapport conique de dix points ne change pas lorsqu'on les 

 transforme homographiquement. Le rapport conique d'un faisceau de dix 

 droites passant par ini point est le rapport conique constant des dix points 

 interceptés par une sécante quelconque. 



» Si douze droites, passant par un point S, sont telles qu'une conique 

 quelconque C, passant par S, intercepte sur les douze rayons six cordes 

 aa' , bb', ce', dd', ee' , ff enveloppant une conique C, cette propriété se 

 conservera quelle que soit la conique C passant par S. 



Les coniques C et C, en variant, se coupent sur quatre rayons dits à'iii- 

 tersection passant par S. Il existe de même quatre rayons doubles qui, par 

 leur intersection avec la conique C, déterminent les tangentes communes 

 à C et C lorsque ces coniques varient. Un faisceau conique a quatre rayons 

 doubles et quatre rayons d'intersection. Le rap|iort conique de dix points 

 dont un double aa est exprimé par la notation (ee; a-, bb' , ce' ,dd' ). 



)) Un point doublement double, parmi les dix points, conduit à deux 



