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)) Il peut arriver que l'équation admette des intégrales particulières uni- 

 formes, rationnelles ou transcendantes; dans ce dernier cas, je dirai que 

 deux ou plusieurs telles intégrales sont distinctes, s'il n'existe entre elles 

 aucune relation algébrique à coefficients algébriques en x. 



)) D'abord, on peut démontrer le résultat suivant : pour que (i ) puisse 

 admettre des intégrales uniformes transcendantes, il faut que ¥ et Ç) soient 

 rationnels en x. 



» En supposant cette condition remplie, je me propose de montrer com- 

 ment les procédés employés par M. Painlevé (') dans l'étude des inté- 

 grales rationnelles de ( i), joints au théorème connu de M. Picard sur les 

 zéros d'une fonction uniforme dans le voisinage d'un point essentiel, per- 

 mettent de préciser une limite supérieure du nombre des intégrales uni- 

 formes transcendantes distinctes de ( r). 



)} 1° Q ^ o a plus de deux racines distinctes y , == ?i(*^) (.'■^ i, 2, 3, . . .). 

 Alors toute intégrale uniforme est rationnelle. En effet, si elle avait un point 

 essentiel x ^ a, on peut toujours supposer ç,, 9», ç^ uniformes autour de 

 a, car si a était un point critique des (p,, comme celles-ci sont algébriques 

 en X, on les rendrait uniformes autour de a en posant x ^= a -\- ç', où v est 

 un entier. Envisageons l'expression 



- _ (.92 — ys) (/ — yi) 

 ('f2— ?i) (7 — ?3)' 



Pour J = 9, {x) on a 2 = o; pour j= ç,, s = i ; pour j = ç^, = =: ce. 

 D'autre part, j supposée uniforme ne peut être égale à <p,, ç^ ou 93 que 

 pour les valeurs exceptionnelles de a? en nombre fini. Donc z{x) est une 

 fonction à un nombre limité de valeurs, admettant jr- = « comme point 

 essentiel, uniforme dans le voisinage de ce point et ne prenant dans ce 

 voisinage les trois valeurs o, 1 , co qu'un nombre fini de fois. La fonction/ 

 ne peut donc admettre de points essentiels (à distance finie ou infinie); 

 c'est donc une fonction rationnelle de x. 



» 2° = a deux racines y i = ofx) distinctes (i = 1 , 2). Posons 



K (5, 



» Le rapport p de deux intégrales de l'équation en z, qui correspon- 



(') Comptes rendus, t. CX, p. 34, 1890; et aussi Annales de l'École Normale su- 

 périeure, p. 3o5 ; 1892. 



