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dent à deux intégrales uniformes de (i), peut être supposé uniforme dans 

 le voisinage d'un point essentiel de y et ne peut prendre, dans ce voisi- 

 nage, les trois valeurs o, i , co qu'un nombre limité de fois ; y ne peut donc 

 avoir de points essentiels. Par conséquent, (i) ne peut pas avoir deux inté- 

 grales uniformes distinctes. 



» 3° Q = o n'a qu'une seule racine y = <p(^-)- Alors oÇx) est nécessaire- 

 ment rationnel. Posons c = et soient :;., z.,, :■.. trois intégrales uni- 



formes de l'équation en z, qui correspondent à trois intégrales uniformes 

 distinctes de (i). L'expression 



-■1 -'3 



est alors une fonction uniforme dans tout le plan, sans coupure et ne pou- 

 vant prendre les trois valeurs o, i, =c qu'un nombre fini de fois; c'est 

 donc une fonction rationnelle de x. Par conséquent, (i) ne peut admettre 

 plus de deux intégrales uniformes distinctes. 



» 4° Q ^^t indépendant de y. On a alors une équation de Riccali ou li- 

 néaire. L'équation de Riccali admet au plus 3, et l'équation linéaire au 

 plus deux intégrales imiformes distinctes. 



» On peut donc énoncer le théorème suivant : 



» L'équation (i) ne peut jamais avoir plus de trois intégrales uniformes 

 distinctes. 



•» Sicile en admet 3, c'est une équation de Riccati. Si elle en admet 2, c'est 

 une équation de Riccati, ou linéaire, ou de la forme 



ily_^ P(x,/) ^ 

 dx {y — tp)" 



OÙ P est un polynôme en y de degré « -+- 2, rationnel en x, et <p(a7) une frac- 

 tion rationnelle en x. 



» Si elle en admet i, elle a une des formes précédentes ou bien la forme 



dy _ P(a;,7) 



d-x (y — ?!)''■ (j— 92)'-' 



où cp, et 'ù., sont algébriques en x, et P de degré k -f- /•' -F 2 en y- 



» Dans le cas où P et Q sont algébriques (non rationnels) en x, l'équa- 

 tion (i) ne peut pas admettre d'intégrales uniformes en x transcendantes. 



