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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une application de la théorie des groupes 

 continus à la théorie des fonctions. Noie de M. Paul Painlevé, présentée 

 par M. Picard. 



« Les fonctions uniformes d'une variable u =/(;;) qu'on peut regarder 

 comme fondamentales (fonctions exponentielles, elliptiques, fuch- 

 siennes, etc.), jouissent toutes de cette propriété que les valeurs s, de z 

 qui correspondent à une valeur de u se déduisent d'un nombre^^j d'entre 



elles, soit ^,, Zn, ..., z , par une infinité de transformations Z;= — ~ 



^ ' ' CiZ-hdi 



(où z représente une des valeurs^,, z.,, ..., z^). Une extension naturelle 

 consiste à étudier les transcendantes uni/ormes u (z) telles que les valeurs z, (u) 

 se déduisent de z^, z.,, . . ., z^par une infinité de transformations : 



(i) ip,(^,-, =)=o, 



où 9, est un polynôme de degré m en =, et en s (m ne dépendant pas de i). 

 J'ai déjà montré que toutes ces fonctions se déduisent des fonctions a«^o- 

 morphes par un changement algébrique de la variable (voir les Comptes 

 rendus, juin 1892). Voici en quelques mots une démonstration nouvelle 

 de ce théorème, qui va nous permettre de passer au cas de plusieurs va- 

 riables. 



» Ecrivons la relation la plus générale de degré m en :; et en :;, : 



?(=(■' s) = o, 



relation dont les coefficients a, b, ..., lonl pour chaque substitution (i) 

 une valeur bien déterminée a,, è,, . . ., /,. Si, quel que soit i, les valeurs a,, 

 bi, . . ., /, satisfont à certaines relations algébriques telles que 



g{a,b, ...,l) — o, 



nous tirons de ces relations plusieurs des paramètres a, b, ..., l en fonc- 

 tion des autres, et les substitutions (i) se trouvent ainsi exprimées algé- 

 briquement à l'aide de paramètres a, b, ..., f algébriquement indépen- 

 dants :] Gulenàs que les valeurs a,, è,, ,.., /, correspondant à chaque 

 substitution (i) ne vérifient aucune relation algébrique indépendante de i. 

 L'ensemble des substitutions <p(s,, ;;, cr,, 6,-, ...,/;)=: o forme par hypo- 

 thèse un groupe infini discret. On en déduit aisément cpie l'ensemble E des 



