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 substitutions 



(2) (p(s', z,a,b, ...,/)— o, 



oùa, b, ... ,/sonl des constantes arbitraires, forme un groupe continu. 



» On est conduit ainsi à étudier les groupes algébriques continus (1). 

 Or donnons a a, b, ...,/ des valeurs quelconques (r^, è^, ...,/„, et soit 

 (po(Z, ^) = o la relation (2) correspondante. On peut montrer que z' s'ex- 

 prime rationnellement en s et Z : ='= R(r-, Z, a, b, .. . , /), et que de plus 

 cette relation définit une correspondance birationnelle entre les points 

 (z, Z) et (;:', Z') des courbes (po(Z, z) = o et(po(Z', :■')= o. Il suit de là 

 que tout groupe algébrique continu (2) est algébriquement semblable à un 

 groupe continu de tj ansformations birationnelles d'une courbe algébrique en 

 elle-même. Le genre /j de <p = o est égal à zéro ou à i : si p = o, un chan- 

 gement algébrique de variable, z = xO» i"amène le groupe (2) au groupe 



i'= — — -7 (ou à un de ses sous-groupes); si /; = f , le groupe (2) se ra- 

 mène algébriquement au groupe [; = snT, /' = sn(T -H a)] défini par la 

 formule d'addition de la fonction su. Ce dernier d'ailleurs ne peut ren- 

 fermer de groupe infini discret. Toutes les fonctions uniformes étudiées u{z) 

 se déduisent donc des fonctions aulomorphes par un changement algébrique 

 de la variable. 



h Posons-nous maintenant la question suivante : Étudier les transcen- 

 dantes uniformes u(z') telles que les valeurs z^ de z correspondant à une valeur 

 «0 de u se déduisent d'un nombre fini d'entre elles (^soitz,, z^, . . . , z^) par 

 une infinité de transformations cp,(-,-, s, ^)= o où <p, est un polynôme de 

 degré m par rapport à chaque variable (s et *( sont deux des valeurs s,, 

 z.^, ...,Zy). Cette question rentre dans une question plus générale con- 

 cernant les fonctions de deux variables : considérons en effet deux fonc- 

 tions uniformes u et v des deux variables s et (^; deux cas sont à distinguer 

 suivant que s et ^ considérées comme fonctions de u, v présentent ou non 

 des singularités essentielles, l'iacons-nous exclusivement dans ce dernier 

 cas, et étudions les transcendantes uniformes u, v de z,^ telles que toutes les 

 déterminations Zj, *(,- de z, (^ correspondant aux valeurs w„, t'^ de u, v se dé- 

 duisent d'un nombre fini d'entre elles, soit (s,, i^,), (zj, Ç,), ..., (3,^, C,)> 

 par une infinité de transformations 



(3) <^i{Zi, z, '0 = o, ilji(^i, s, ^) = o 



où (p,, (]^, sont des polynômes de degré m par rapport à chaque variable [s et Z, 



