( 847 ) 

 sont un des couples (z,, !^,), . . ., (z^, K^)}. Cette question renferme la pré- 

 cédente, ainsi qu'on le voit en posant 



» On montre, comme plus haut, que les substitutions (3) étant exprimées 

 algébriquement a l'aide du nombre minimum de paramètres a, b, ...,/, 

 l'ensemble des substitutions 



(4) (^{z', z,l, a, b, ...,/)=■ o, i/{X:,z,l, a, b, ...,/) = o 



forme un groupe continu algébrique. On montre ensuite que tout groupe 

 continu algébrique est semblable algébriquement à un groupe continu de trans- 

 formations birationnelles d'une certaine surface algébrique en elle-même. Il 

 suit de là que tout groupe (4) peut se ramener algébriquement soit à un 

 des types canoniques cnumérés |jar M. Sophus Lie (' ) (^Théorie dcr Trans for- 

 mations gruppen, t. III, p. 71-73), soit à un des groupes définis par /ef/or- 

 mules d'addition des fonctions périodiques de deux variables. 



» Ces derniers d'ailleurs ne sauraient renfermer de groupes infinis dis- 

 crets. Nous n'avons donc à considérer que les groupes infinis discrets que 

 renferment les groupes canoniques algébriques de M. Lie. Comme types 

 primitifs, ces groupes ne renferment que les groupes hyperfuchsiens ; 

 comme types imprimitifs, ces groupes renferment les groupes hyperabè- 

 liens, mais ils en renferment d'autres qui en diffèrent essentiellement. Les 

 transcendantes uniformes qui s'introduisent ainsi ne se ramènent donc pas 

 toutes aux transcendantes de M. Picard ; toutefois, pas plus que celles de 

 M. Picard, elles ne peuvent servir à exprimer les coordonnées d'un point 

 d'une surface algébrique quelconque. 



» Soit (G) un groupe canonique algébrique de M. Lie, à r paramètres ; 

 admettons que ce groupe renferme un groupe infini discret auquel corres- 

 pondent des fonctions uniformes u, v de z, X,. 



» Ces fonctions satisfont à un système différentiel complet algébrique, 

 dont l'intégrale est uniforme et dépend de /-constantes (qui y entrent en 

 général d'une manière transcendante); de ce système on peut déduire des 

 équations différentielles ordinaires d'ordre r au plus dont l'intégrale est 

 aussi uniforme. Par exemple, pour un groupe liyperfuchsien, le système 

 complet est du huitième ordre et on en déduit des équations du cinquième 

 ordre dont l'intégrale est uniforme et dépend des constantes d'une façon 

 transcendante. Il y aurait grand intérêt à déterminer les fonctions corres- 



(') Il n'y a à considérer ici que ceux, de cei lypes qui sont algébriques. 



