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 les neuf nombres qui composent trois termes consécutifs quelconques sa- 

 tisfont à des inégalités que nous écrivons par exemple, pour les trois pre- 

 miers termes : 



«, + a, + a3< p, -4- p., 4- ^,^7, -f-y, -+- y,, 

 p2+y3=»'-2-f- a, -i-a, ?3 + y, = a, + 7.,-f- a, ?, + yo5a., -f- a,-^ 2, 



p3 + y2 = *-3+ ='•.- + 2. fi, +y3 = «. +"-3+2, p^_|_y,<a.2-(-a, -f-2. 



» Ceci posé, nous regardons les nombres d'un même terme comme les 

 degrés de trois polvnomes formant un système de polvnomcs approchés 

 pour S,,S,,S,.Soit(P,,P.,P,);(Q,,Q,,Q3); (R,.R„R3); (T,, T,, T,); ... ; 

 (X,. Xj, X3) la suite des systèmes de polynômes correspondant à la suite 

 des systèmes de degrés : chaque polynôme d'un système est une fonction li- 

 néaire, à coefficients entiers en x, di^s polynômes de même rang dans les trois 

 systèmes précédents. Ainsi, par CKcmpIe, on a 



P,«-)-Q,i-f-R,c = T,, 



Po6t-f-QJ>-f-R2C=:T3, 



P,a4-Q,^> + R3C = T3; 



a est un monôme, et i et c sont des polynômes dont le terme constant est 

 différent de zéro, caractères qui généralisent ceux des fractions continues 

 simples. 



» Voici, maintenant, un exemple d'un algorithme régulier. Il suffit de 

 considérer la suite 



qui satisfait à toutes les conditions imposées; alors, quel que soit le système 

 de polynômes que l'on calcule au moyen des trois systèmes précédents, a est un 

 monôme du premier degré, et b et c sont des binômes du premier degré; cet 

 algorithme est, en tous points, analogue à celui de la formation des ré- 

 duites pour les fractions continues régulières de la première classe et du 

 premier type de cette classe. Il est aisé d'obtenir l'algorithme régulier 

 correspondant aux fractions du deuxième type de la même classe. Quant 

 aux algorithmes correspondant aux fractions continues régulières de la 

 deuxième classe, ils présentent ce caractère nouveau que a, b, c ne sont 

 plus entiers, mais admettent un même polynôme entier pour flcnomina- 

 teur. 



» Il est clair qu'au lieu de considérer une suite unique pour arriver aux 

 polynômes X,, X2, X,, on peut faire emploi de moyens plus compliqués 



