( 85o ) 



qui en dérivent. En effet, le calcnl d'u!! système de polynômes dépendant 

 de trois autres systèmes, on peut, pour obtenir chacun de ceux-ci, se servir 

 d'une suite à lui spéciale; à tout terme de ces suites, on pourra appliquer 

 le même raisonnement, et ainsi de suite. 



» On peut encore associer trois systèmes convenables de polynômes 

 pour le calcul de trois autres, employer ceux-ci an calcul de trois autres 

 encore, etc., jusqu'à obtenir le système dont on fait dépendre le calcul de 

 X,, Xj, X,. C'est ainsi que les trois systèmes caractérisés par les degrés 



(m,m' — i,m" — i), (m — ï,m',ni" — i), (/« - i, to — t , m") 



peuvent servir à calculer chacun des trois suivants 



(m-i-i,m\m"), (/n, m'+ i, /«"), (m,m', m" -\- i), 



toutes les inégalités imposées se trouvant vérifiées dans chacun des trois 

 cas. On pourra passer ensuite de ces trois nouveaux systèmes à trois autres 

 analogues, et ainsi de suite. L'élégant algorithme auquel conduit cette mé- 

 thode est celui indiqué par M. Hermite dans une Lettre récemment publiée 

 dans les Annali di Matematica para ed applicata. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermina! ion du nombre des nombres 

 premiers inférieurs à une quantité donnée. Note de M. H. von Kocii, pré- 

 sentée par M. Picard. 



« Riemann, dans un Mémoire célèbre (Œuvres complètes, p. i36), a 

 proposé une expression analytique pour la représentation du nombre des 

 nombres premiers inférieurs à une quantité donnée n et des formules 

 d'approximation pour le cas où n est très grand. Pourtant sa démonstra- 

 tion, bien qu'elle ait été complétée plus tard, dans des points essentiels, 

 par les recherches de plusieurs géomètres, n'est pas encore, comme on 

 sait, à l'abri de toute objection. Aussi, il paraît extrêmement difficile de 

 parvenir, par la méthode proposée par Riemann, à une solution satisfai- 

 sante du problème. 



» C'est en suivant un tout autre chemin que je suis arrivé aux deux 

 théorèmes suivants. Soit n un nombre entier arbitraire, q le nombre des 

 nombres premiers inférieurs ou égaux à n; 



» On peut former une fonction entière rationnelle ^(.•r) dont les coefficients 



