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 s expriment rationnellement par rapport aux nombres 



(A) I, 2, . . ., n, 

 et telle que l'on ait 



(B) y = ^(l)4-S(P.>+...+ S(„). 



)) On peut, en outre, former une fonction entière 0(a:), dont les coefficients 

 s expriment sons la forme de polynômes entiers, à coefficients rationnels, par 

 rapport au nombre t., de telle manière que l'on ait 



(c) y = e(i) + e(2)+...+ e(/i). 



» Pour démontrer le premier théorème, qui, comme on voit, revient à 

 affirmer la possibilité d'exprimer q par ime fonction numérique élémentaire 

 de n, il suffira de former une fonction entière rationnelle S(a;) qui est égale 

 à un ou à zéro selon que a?, supposé compris dans la suite (A), est ou n'est 

 pas un nombre premier. Soient a et [î deux entiers positifs quelconques, 

 et posons 



9('3^')=/(^)K^)- 



(p(^a;) est rationnel par rapport à x et se réduit à un polynôme entier si 

 l'on choisit 



» On voit facilement queç(^) = o, p désignant un nombre premier 

 quelconque de la suite i , 2, . . . , a et que, si c désigne un nombre composé 

 quelconque de cette suite, ç (c^ est égal au nombre des diviseurs distincts 

 de c; ce nombre <f(c) est donc nécessairement ^ i, mais ^x. 



)) Donc la fonction 





Ll'- 



est égale à w/i ou à sero selon que a--, supposé compris dans la suite i, 2, ...,a, 

 est ou n'est pas un nombre premier. Pourvu que n |> 2, nous pouvons 

 poser, par exemple, 



fi = « — I . CI. — (n — 2)- ; 



alors i{x) jouit bien de la propriété d'être égal à un ou à zéro selon que x, 

 supposé compris dans la suite (A), est ou n'est pas un nombre premier. 



c. H., 1S94, I" Semestre. (T. tXVlII, N» 16.) I lO 



