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Les coefficienls de cette fonction s'exprimant visiblement d'une manière 

 rationnelle par rapport aux nombres (A), notre premier théorème est 

 donc démontré. 



» Pour démontrer le second, nous posons 



^(x) = .j\a;)W(x). 



$ (x) représente une fonction entière de x et, en la développant suivant 

 les puissances entières de x, on voit facilement que chacun des coefficienls 

 prend la forme d'un polynôme entier, à coefficients rationnels, p;ir rap- 

 port à -K. De plus, pour tout nombre premier /j, $(/?) s'annule et, pour 

 tout nombre composé c, ^(c) est égal au nombre des diviseurs distincts 

 de c. On voit donc, comme tout à l'heure, que la fonction 



«w=n|.-r-^T 



sin [^^(.r)] 

 ■K<P{x) 



pour les valeurs entières de x, est égale kun oa à. zéro selon que x est ou 

 n'est pas un nombre premier. L'égalité (.C) a donc lieu, et, en développant 

 6 (a;) selon les puissances entières de x, on voit que chacun des coefiicienls 

 sera un polynôme entier, à coefficients rationnels, par rapport à t:. 



M Nous avons donc trouvé deux fonctions &(ic) et ^(x) répondant aux 

 théorèmes énoncés j il convient de remarquer que, par une méthode un 

 peu plus générale, nous aurions pu trouver une infinité de fonctions diffé- 

 rentes jouissant des mêmes propriétés. 



» D'ailleurs, il est aisé de voir que la méthode précédente s'applique à 

 des problèmes beaucoup plus généraux. Elle peut servir à démontrer, par 

 exemple, qu'on peut exprimer, par une fonction numérique élémentaire 

 de n, combien il y a de nombres entiers inférieurs à « et décomposables 

 en un nombre donné quelconque de facteurs primaires. 



)> D'un autre côté, on a, en vertu des propriétés de la fonction & (x), 



i//=2v*&(v), (k = j,-2,...,q), 



les sommations à gauche se reportant à tous les nombres premiers p^nel 

 celles à droite à tous les entiers v5n. De là, et en vertu d'un théorème 

 classique de l'Algèbre, nous concluons qu'il est possible de déterminer 



