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peut étudier les modifications que subit une intégrale de l'équation pro- 

 posée lorsque la variable, circulant autour de l'un des pôles, revient au 

 même point. Si l'intégrale présente un nombre indéfini de valeurs, lorsque 

 la A'ariable revient au même point en circulant indéfiniment autour d'un 

 pôle, c'est-à-dire autour du point qui correspond à l'une des valeurs de la 

 variable qui rendent infinie la valeur de l'un des coefficients de l'équa- 

 tion 



d' y dv 



l'intégrale est nécessairement transcendante et, dans ce cas, on peut, à 

 l'aide de théorèmes dus à Liouville (Journ. de Math., t. IV), reconnaître si 

 elle s'exprime ou non au moyen de transcendantes connues. Après avoir ra- 

 mené l'équation linéaire du second ordre à la forme -r^ =P v, on recherche 



les conditions nécessaires pour que cette équation définisse une fonction 

 finie explicite de x, en appelant ainsi une fonction que l'on peut écrire au 

 moyen d'un nombre limité de signes algébriques, exponentiels, loga- 

 rithmiques et de signes / d'intégration indéfinie relative à la variable x. 



)) D'après lui, pour décider si -r^ = Pj peut être satisfaite par une fonc- 

 tion finie explicite de x, sans que son intégrale complète soit algébrique, 

 il suffit d'examiner si l'on peut satisfaire à l'équation — -\- t-=:P, en pre- 

 nant pour t une fonction rationnelle de x ou une fonction définie par 

 une équation algébrique de second degré dont les coefficients soient des 

 fonctions rationnelles. La méthode à suivre pour résoudre ce dernier pro- 

 blème est suffisamment indiquée par Liouville dans les cas particuliers 

 dont il s'est occupé. C'est pourquoi je me suis attaché à la recherche des 

 intégrales algébriques. 



)) Je suis arrivé à démontrer qu'il existe une limite pour le degré de 

 l'équation vérifiée par la dérivée logarithmique 



^ _ ' dy 

 Y dx 



<le l'intégrale cherchée. L'équation 



dt 



/== P 



do- ' 



lorsqu'elle s'intègre sous forme finie, est vérifiée, ou bien par une fonction 



