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 .rationnelle de x, ou bien par les racines d'une équation du 2*^, du 4*> du 6" 

 ou du 12* degré dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de œ. 

 J'ai obtenu ce résultat comme conséquence du théorème suivant, relatif à 

 l'équation linéaire du second ordre. 

 M Si l'intégrale générale de l'équation 



d'Y n 

 dx- 



esl algébrique, elle est de la forme 



qr + ^^'ju 



les intégrales particulières y, y ^ étant : 

 )) 1° Soit déterminées par les équations 



X 



J — '^ ' J I — B 



A et B désignant deux fonctions rationnelles de la variable x. 

 » 2° Soit des racines d'une équation trinôme 



y^'"-i- p,y'"-hp., = o. 



» 3° Soit enfin des racines d'une équation 



j"" +/'./' '"i'+/'oy''--'i^+. . .+/J, = o, 



dans laquelle ^ et a sont pris dans l'un des systèmes 



N = 4. 1^- = fi, 



N= 6, [j.= 8, 



N = 12, [J. = lO. 



» En prenant comme variable auxiliaire non plus la dérivée logarith- 

 mique de l'intégrale cherchée, mais le produit de deux intégrales parti- 

 culières, que j'ai désigné par j et '\{y), je suis à parvenu une méthode pra- 

 tique de détermination des intégrales algébriques qui est développée dans 

 mon Mémoire. 



« J'ai été amené à étudier, par la méthode en question, l'équation dif- 

 férentielle du second ordre, dont une intégrale particulière est développée 

 par la série hvpergéométriqne de Gauss. Une partie de la question avait 

 déjà été résolue, par Sc\\\\a\lz (^Journal Ue Ctelle, iS^S), par la méthode 

 de représentation géométrique des fonctions due à Riemann. L'accord de 



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