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 où l'on suppose la foiiclioa /(r, y) toujours positive et croissant en même 

 temps que y. Il n'existe, on le voit de suite, qu'une seule intégrale de 

 cette équation prenant des valeurs données pour a; = a et pour a- = 6. En 

 supposant, comme il est évidemment permis, que ces valeurs données 

 soient nulles, on peut chercher à obtenir l'intégrale de (0 s'annulant en a 

 et en b, au moyen des approximations successives 



S^=/(-.o), ^^/(ar,y,); ..., g^=/(^,7„-,) 



tous les j' s'annulant pour x ^^ a et x =^ b. Ov voici ce que l'on reconnaît : 

 les y à indices impairs forment, pour une valeur arbitraire de x, une suite 

 croissante, et lesj' à indices pairs une suite décroissante . Les premiers ont 

 une limite, et il en est de même des seconds. Comme je l'ai montré, ces 

 limites coïncident si l'intervalle (a, b) est assez petit, mais j'énonçais qu'il 

 n'en était pas ainsi en général. Je me suis toutefois borné à cette affirma- 

 tion; il était intéressant de chercher un exemple qui montrerait effective- 

 ment un type curieux d'approximations successives, dans lequel les ap- 

 proximations d'ordre pair ont une limite, et les approximations d'ordre impair 

 une autre limite. C'est un tel exemple que je vais indiquer. 

 )) Il sera fourni par l'équation très simple 



^ = - e^. 

 dx^ 2 



» Soit l'intervalle (^o,b). Considérons une intégrale s'annulant pour 

 a; =; o et négative pour x positif et assez rapproché de l'origine. On aura 



a. étant une quantité positive inférieure à un. L'intégrale y ira en décrois- 

 sant depuis j' := o jusqu'à la valeur logx qui sera son minimum. Cette 

 valeur minima sera atteinte pour 



•,0 



'\a%t>.\ e 



la seconde racine de l'intégrale y correspondra donc à 



'Jio^mVey— a 





