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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Recherches sur les fractions continues. Mémoire 

 de M. Stieltjes, présenté par M. Herraite. (Extrait par l'auteur.) 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 

 i< 1. L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue 



I : « , 3 + I : « j + 1 : f/3 3 -I- 1 : « , -h . . . , 



où z est une variable imaginaire et a,, a.,, a^, ... sont des nombres réels 

 positifs. 



» Deux cas sont à distinguer selon que la série 



(S) a, -f-a. + rtj + «4 + . . . 



est convergente ou divergente. 



» L'étude du premier cas est de beaucoup la plus simple et conduit aux 

 résultats suivants. 



» Dans le cas où la série (S) est convergente, les réduites d'ordre pair 

 et les résultats d'ordre impair tendent vers deux limites différentes 



» Ici />( = ), q{'-), p, (z), y, (s) sontdes fonctions holomorphcsdans tout 

 le plan, ce sont des fonctions entières de z du genre zéro. Ces fonctions 

 n'admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs, et 



(jI{z) - -1- Xj z -j- 1, z-hli 



<ji{z) : c-t-0, i+0, 



» '2. Avant d'aller plus loin, considérons le développement de la fraction 

 continue suivant les puissances descendantes de z. Ce développement se 

 présente sous la forme 



(S.) S-P + J-?-*----' 



les coefficients c„ étant positifs et le rapport 



