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croit conslammeiiL avec n. Deux cas jDeuvent se présenter : ou bien ce 

 rapport tend vers une limite finie 1 et alors la série (S,) est convergente 

 pour 1 = 1 '^'k, ou bien ce rapport croit au delà de toute limite, et alors la 

 série (S,) est toujours divergente. 



» Nous trouvons que le premier cas a lieu lorsque les nombres 



- --- (.^ = 1,2, 3,...) 



sont limités supérieurement. Dans le cas contraire, c'est le second cas qui 

 a lieu. 



» 3. Considérons le cas où la série (S) est divergente. Nous trouvons 

 d'abord que les réduites d'ordre pair ou impair tendent vers une même 

 limite F(2), la fraction continue est convergente, et cela pour toutes les 

 valeurs réelles ou imaginaires de :; : il faut faire exception seulement pour 

 les valeurs réelles négatives. 



» La partie négative de l'axe réel est ainsi une ligne singulière. 



» La fonction ^{x) est une fonction analytique holomorphe dans tout 

 le domaine que nous venons d'indiquer. 



» Pour obtenir ce résultat nous nous appuyons surtout sur un théorème 

 de la théorie des fonctions qu'on peut énoncer ainsi. Soit 



une suite infinie de fonctions analytiques holomorphes dans un domaine S 

 limité par un contour s. Si le module de la somme 



/,( = )+/.( = )+---4-/„(=) 



admet une limite supérieure L, indépendante de ii, tant que :; est dans S 

 ou sur s\ si ensuite la série 



F(=)=i/«(=) 



1 



est uniformément convergente dans un cercle quelconque C compris entiè- 

 rement dans S, alors on peut affirmer que .cette même série est unifor- 

 mément convergente dans tout le domaine S, et F (s) est holomorphe dans 

 le même domaine. 



» 4. Le résultat précédent laisse obscure la nature de la ligne singulière ; 

 pour éclaircir ce dernier point nous montrons que la fonction F(=) peut 

 se mettre sous celte nouvelle forme analytique 



^^-^=1 T^=^l W^^-' 



