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elle est déjà normale à la ligne (v = const., qui n'est autre que la ligne (v) 

 de S. 



» D'ailleurs les cosinus directeurs de cette tangente à (u) sur S, dans sa 

 position générale, sont 



b cosMf — b' sinip, b siu a' -+- b' cosif', b" ; 



l'équation de condition est alors 



(b costif — b' sin(ï') -^ -h (b siniif -+- b' coiw) -, + b" ,-- = o, 



oîj l'on a, en prenant les notations du Cours de M. Darboux, 



dx ■ fA' / 7 7 / • \ 



-— = — a'nSintP — y„ cos(v + ■/), ^-( wcosd-' — h i,u\w), 

 Ow '' dw ^ ' 



à y ■ '^^' / 1 ■ . I ' \ 



-i = a-ncostv — y,,sin(t' — n, -r- (osmw -\- b cq?,w), 



-r- — b"r,^-. 1- h. 



dw dw 



On obtient ainsi, entre v et w, l'équation suivante : 



qui montre que l'expression qui multiplie dv doit être indépendante de u. 

 Si cette première condition est remplie, on obtieut par une quadrature une 

 surface S' qui, soumise au même mouvement que S, forme une famille F' 

 associée à F. 



» Comme on a deux familles de surfaces qui se coupent orthogonale- 

 ment suivant des lignes de courbure, on sait, d'après le complément 

 donné par M. Darboux au théorème de Dupin, qu'il existe une troisième 

 famille complétant avec les deux premières un système orthogonal. Pour 

 l'obtenir, il suffit de considérer dans les équations (i) u comme fonction 

 de w et de raisonner comme on l'a fait plus haut. On est alors conduit à 

 l'équation 



(3) -, -jr-, = dw, 



dans laquelle l'expression qui multiplie da est indépendante de v. Elle 

 donne par une quadrature la surface S" qui, soumise au mouvement héli- 

 coïdal considéré, forme la troisième famille cherchée F". 



