( '4i' ) 



« Les deux conditions équivalentes obtenues plus haut conduisent à la 

 relation unique 



(4) — («n — «'^ii ~~ a" h) -h - (by„ — b'x^, - b"h) -;- c" - 



— = f>. 



que nous allons interpréter géométriquemenl. 



» Pour cela, considérons en chaque point M de la surface S, les centres 

 de courbure géodésique w et u, des lignes de courbure (r) et (u). On sait 

 que w et oj, sont situés respectivement sur les tangentes aux lignes {u) 



et (f), et que les rayons Mo) et Moj, sont égaux à - et -• On obtient 



alors, pour la projection Z du segment ww, sur l'axe Oz, et pour son mo- 

 ment N par rapport au même axe, les valeurs 



N = "^{aY, - a'x„) + Uby„ - b'x,) + c"^ \- 



)) L'équation (4) se ramène donc à la forme 



(5) Nh-AZ = o. 



d'où résulte la conclusion suivante, qui exprime la condition nécessaire et 

 suffisante pour qu'une surface S soit susceptible d'engendrer par un dé- 

 placement hélicoïdal une famille de Lamé. 



» La coiigruence engendrée par la droite ojw, qui, en chaque point de la 

 surface S, joint les deux centres de courbure géodésique des lignes de 

 courbure, appartient à un complexe du premier ordre 1. 



» Le mouvement hélicoïdal que doit prendre S s'effectue d'ailleurs au- 

 tour de l'axe de 2, de plus le pas ir.h de ce mouvement s'obtient immé- 

 diatement à l'aide de l'équation (5). En prenant comme sens de rotation 

 pour le mouvement hélicoïdal celui qui a été choisi pour les moments par 

 rapport à Os, le pas s'obtient en multiphant par 2tc le paramètre changé de 

 signe du complexe. 



M En particulier, si la droite o>co, rencontre une droite fixe, ou est per- 

 pendiculaire à une direction fixe, le mouvement de S se réduit à une 

 rotation autour de cette droite, ou à une translation suivant cette direc- 

 tion. I) 



c. R., 1894, j" Semestre. (T. CXVIII, N» 25.) 1 82 



