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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les lignes de courbure des surfaces 

 cerclées. Note de M. Lelieuvre, présentée par M. Darhoux. 



« Soient un 'cercle de rayon R dépendant d'nn paramètre u. variable, 

 'i, r, Ç./?, g, r les translations et rotations d'un trièdre trirectangle Oirv= 

 dont l'origine est le centre du cercle, Os l'axe de ce cercle; déterminons 

 un point M sur le cercle par l'angle tp de Ox avec OM et posons 



tang- = /; on constate que l'équation des lignes de courbure de la sur- 

 face engendrée peut, en désignant par 1! la dérivée -7-) s'écrire ainsi 



(c) (C + 2l{/')(2DRr + F) - D(A^+ B-) = o, 



en posant 



A =:;(! -/-)-+- 2r,/+R'(i +/'), B = ^(i + i-)+R[2/j/ -<y(i -/=)], 



» D'ailleurs, l'équation différentielle des tmjectoires orthogonales du 

 cercle mobile est 



C+ 2Ri'=;o. 



» Donc la condition pour que les lignes de courbure soient également 

 inclinées en chaque point sur ce cercle est 



CD-F = o; 



par suite, le polynôme D divise alors F, et l'équation (c) devient 



(c') ((: + 2Rr)--(A- + B-) = o; 



de plus, on voit facilement que toute racine simple du polynôme A^ + B- = o 

 vérifie identiquement l'équation 



2DR/'+F = o, 



qui se réduit ici à 2R/'+ (1 ^ o; donc l'équation (c') aura une intégrale 

 générale à points critiques fixes, et son intégration se ramènera à celle 



