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d'équations de Riccati ou à des quadratures, suivant que A- -+- B" aura une 

 ou deux racines doubles, ou ses quatre racines simples. Ainsi : 



» Quand les lignes de courbure d'une surface cerclée font en chaque point 

 des angles égaux avec le cercle générateur, elles se déterminent par des équa- 

 tions de Riccati ou des quadratures (^*^. 



» Nous avons déterminé des surfaces particulières de ce genre dans cha- 

 cun des cas qui peuvent se présenter : 



» 1° A- -I- B- a une racine double et deux racines simples. Le cercle gé- 

 nérateur a une enveloppe; il est orthogonal à une ligne r dont le rayon 

 de courbure est proportionnel à l'arc et le rayon de torsion au carré de 

 l'arc; son diamètre est égal à l'arc, et il est tangent à une développante 

 de r. 



» 2" A-+B- est carré parfait; les surfaces correspondantes sont des 

 anallagmatiques à focale isotrope. 



)) 3° Les quatre racines de A'+B" sont distinctes; la surface a deux 

 lignes d'ombilics; signalons, par exemple, celle qui est engendrée par un 

 cercle de centre fixe tournant autour d'un de ses diamètres, de façon que 

 l'angle de rotation soit proportionnel au logarithme népérien du ravon, ou 

 par un cercle tournant autour d'une droite contenant le centre, de façon 

 que la distance u de ce centre à une origine fixe, le rayon R et l'angle de 

 rotation soient exprimés en fonction d'une variable auxiliaire w par les 

 formules 



?^ siuoj = const., R = — ifcosco, = cota L tan" ( t — - 



Cette surface est anallagmatique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales analytiques des équations de 

 la forme '^^= Y {z), t^( =) =2 ""- ilï^' ^ + '^<n. Note de M. De- 

 LASsus, présentée par M. Appell. 



« Dans une région où tous les a^, sont analytiques, prenons un segment 

 de droite, L, parallèle à O a;, (j =^0)» *^^ cherchons l'intégrale s ayant pour 



(') M. Demaktres {Sur les surfaces à génératrices circulaires, Gauthier-Villars^ 

 1890) a déterminé les surfaces cerclées dont rinclinaison des lignes de courbure sur 

 la génératrice est constante le long de cette ligne, mais différente de 4^° (sauf pour 

 jes anallagmatiques à focale isotrope). 



