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fonctions initiales X„,X,, . . . ,X„_| développables en tous les points de L. 

 » Intégrons par approximations successives 



^=0, _- = [.(..), _=t(„,), . .. 



la première étant Intégrée avec les'conditions initiales X„, . . .,X„_| et les sui- 

 vantes avec les conditions initiales o, o, . . ., o. 



M Supposons qu'au voisinage de ^„ y„ (sur L), les séries X soient vala- 

 bles pour I :r — j"„ I <; p et les séries an, pour \x ~ x„\<^ p, \y — }'„ \ <C -^• 

 Les séries z,, ;/^,, ?/,, ... seront absolument convergentes' dans le rec- 

 tangle pA. 



» Remplaçons les séries X, et Uji, par les séries correspondantes à coef- 

 ficients positifs, X[ et a)^, elles donneront naissance à des séries z\, u„, u.^ 

 absolument convergentes dans pA, à coefficients positifs et qui seront res- 

 pectivement majorHutes en x„y„ pour r,, u.,' ii^, . . .. 



» Pour démontrer que la série z, -|- 11.^ 4- Wj . . . est absolument conver- 

 gente dans pA et peut s'ordonner en x — a\,, y — jo dans tout ce rec- 

 tangle, il suffit de montrer'que la série des valeurs maxima des z\ «', m!, . . . 

 est converecnte. 



» Considérons un rectangle p£, i'^; (s <; i, S <; A ). 



M Quelques remarques simples sur les séries en x —x^, y — y„ à coeffi- 

 cients positifs, nous conduiront à écrire l'inégalité générale 





0" M -y r 



? 



df^ S». N 



vraie à l'intérieur du rectangle; dans le second membre, il faut faire 



x = Xa-i-fi, après avoir effectué les opérations et, en outre, dans chaque ^, 



il faut faire varier les indices correspondants ;o et 5 de toutes les façons 

 possibles, en vérifiant 



n^s^p + I > o. 



» Soit U,„+, le second membre de l'inégalité, on a 

 , 0" NM'«-' v^ 



^m+l — AH 









