( 970 ) 



» La série U, + Uj + . . ■ est convergente; le rapport --f^ tend vers o 



avec — Ce rapport est de la forme 



B,C,+ B,C, + ...+ B).C) , 

 B,H-B., + ...-hB), ' 



il est compris entre la plus grande et la plus petite des quantités C. Toutes 



ces dernières tendent vers o, chacune d'elles étant la somme de 



fractions rationnelles en m, dont le numérateur est de degré inférieur au 

 dénominateur. 

 » La série 



étant une série en a; — a;„, y — /o absolument convergente dans tout rec- 

 tangle pe, ^, l'est dans tout le rectangle pA. 



» De là on déduit immédiatement la propriété suivante : 



» // existe une région R entourant L et telle que V intégrale z, y soit analy- 

 tique, quelles que soient les fonctions X développables en tous les points de L. 



» On étend immédiatement au cas d'un arc analytique au moyen d'un 

 changement de variables. 



» Soit l un arc analytique régulier dont la tangente en aucun point n'est 

 une caractéristique de l'équation proposée. Il existe une région R entourant l 

 et telle que l'intégrale z soit analytique dans tout R, quelles que soient les fonc- 

 tions initiales développables en tous les points de l. 



» Soit r une ligne singulière essentielle de :;, non ligne singulière des 

 coefficients. On pourra choisir un arc analytique régulier / dont la région R 

 correspondante soit traversée par r (si r n'est pas une caractéristique). 

 3, avant des valeurs initiales analytiques sur /, sera analytique dans R et par 

 suite pourra s'étendre analytiqiiement au delà de F. Donc : 



» Les lignes singulières essentielles des intégrales analytiques ne peuvent 

 être que les lignes singulières des coefficients ou des caractéristiques ( j? = const. ) 

 de l'équation. 



» Soit P la région où les «,7;. sont analytiques, considérons la région Q 

 formée par les points de Pd'où l'on peut aller au segment / en suivant une 

 caractéristique et sans sortir de P. Q sera la plus petite région, entourant /, 

 intérieure à P, et limitée par des caractéristiques ou des lignes singulières 

 des a,A» de sorte que : 



)) Quelles que soient les fonctions initiales analytiques sur l, l'intégrale z est 

 analytique dans toute la région Q correspondante. 



