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» Si les fonctions initiales cessent d'être développables aux extrémités 

 de / ou si celles-ci sont sur le contour de P, z sera analytique dans Q et, en 

 général, ne pourra s'étendre analyliquement au delà. 



» On voit ainsi que la région dans laquelle l'intégrale est analytique se 

 détermine immédiatement, en général, au moyen des limites entre les- 

 quelles les fonctions initiales sont développables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de M. Poincaré. Note 

 de M. Be\dixo\, présentée par M. Poincaré. 



« Dans sa thèse inaugurale (Paris, Gauthier- Villars, 1879) M. Poincaré 

 a donné le développement des intégrales d'un système d'équations diffé- 

 rentielles 



' dx 



l -^ ='k,x, — X'(x- x„). 



(0 





' dt 



où X', .... X" sont développés suivant les puissances entières de x^, 

 x„, ..., x'„ et ne contiennent que des termes du deuxième degré au 

 moins. 



» Avant fait, quant aux quantités X, , Xj, . . ., \„, les deux hypothèses que 

 nous citerons ci-après, il fait voir que les intégrales du système (1) peuvent 

 s'écrire sous la forme suivante 



(2) T, = /t,e'/. T, = /^,e'=', ..., T„,= X-„e^.'. 



k^, ..., X:„ désignant des constantes d'intégration et T,,T2, ...,T„ des 

 fonctions holomorphes des x. 



» Lesdites hypothèses sont les suivantes : 



» Hypolhèse I. — Ces /i points X,, \.,, ..., â„ sont tous d'un même côté 

 d'une certaine droite passant par l'origine. 



» Hypothèse //. — On n'a pas de relation 



m, A, + ... -h ///.,_, A,_, -f- m,^, x^^, -(_... 4- m„\„ = l.„ 



m , m^ désignant des nombres entiers positifs dont la somme est plus 



grande que i. 



» Cette dernière hypothèse n'est pourtant pas essentielle. 



» Je veux en effet/prouver queles développements (2) ont lieu dans tous 



C. R.. 1894, I" Semestre. ( T. CXVIII, N° 18.) 1^5 



