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 les cas où les quantités >.v ne sont assujetties à d'autres conditions que 

 celles exprimées dans l'hypothèse I. 



» Pour fixer les idées, nous supposons qu'il existe des relations de la 

 forme 



( 3 ) ?n., A. 4- . ■ . + w„ /.„ =■>.,. 



et nous voulons prouver que le système (i) a une intégrale première 



T, =/?■,.>/. 



» Observons d'abord que l'on ne peut avoir qu'un nombre fini de telles 

 relations (3), ce qu'il est aisé d'établir. 



» Soit maintenant q la plus grande valeur que peut prendre 

 Wj^-. ..+ m„ quand la relation (3) est satisfaite, et soient y^- Ya- ■••> ?« 

 des nombres entiers satisfaisant aux deux équations 



gr/Ao+.-.-f- qn\, = '>.,, 



<ll + «/.i ■^■■■+(ln = (]■- 



je veux démontrer que l'équation 



(4) -^ ÔM^-. - X') +• ■ ■+ ^ {\,^-u - X") = A. z. 



ou 1 uu „ 



a une intégrale holomorphe développable suivant les puissances entières 

 de a?,, ..., x„ et telle que les termes de dimension ^q se réduisent à 



.X 2 . . . .i „ . 



« Soit, à cet effet, 



ta 



T j.rl: y'/„ _|_ ''^ (; V.'". ^v.'".. 



X , U,._, . . .U/„ -|- ^ '^'lll,.. III „ •'^ { •■•'■'■ Il ' 



'/ii -i-.-.-i-m,, = l/-hi 



une série satisfaisant formellement à l'équation (4) et soit 



x''= 2 a;;,.,„x;"---<" (v = i,.../0 



///.^-...-t-m„ 



le développement de X', on aura 



[1, (m, - I) + ).,"2. + . ■ ■+ A„7;/,JC„„..,„„ = P„„..„,,.(C, A', . ... A"), 



où P est une fonction entière à coefficients positifs des A,_ ,( , . . ., A|i ^^^ et 

 lies coefficients C^, _,^_ où a., + . . . -i- a„<; m, + . . . + m„. 



