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 fient en oulre une des relations 



F(x + K + /K')= -F(a-), 

 F(a- + K)= -F(^) 



[Journal de Liouville, 3^ série, t. VI, 1880). De ce mode de décomposition 

 on déduit immédiatement que l'intégrale d'une pareille fonction s'exprime 

 au moyen de fonctions doublement périodiques et de logarithmes de fonc- 

 tions doublement périodiques. Ce résidlat peut, à un certain point de vue, 

 être généralisé comme il suit : Soil F(a") une fomlion doublement périodique 

 de ieconde espèce dont les niulliplicateurs sont des racines de runité, l'an au 

 moins étant différent de runité,- l'intégrale f p[x)dx' est égale A une fonction 

 doublement périodicpie augmentée d'une somme de logarithmes de fonctions dou- 

 blement périodiques multipliées par des facteurs constants. 



» Soient 2K et 2/K.' les périodes de ¥{x); je suppose que l'on ait 



b étant une racine de l'équation b'" —1 = 0, différente de l'unité, de telle 

 sorte que 



( I ) i + b-\-b-+ ... -+■ b'"-' = o. 



3'emploierai, pour la décomposition de F(x) en éléments simples, une 

 méthode analogue à celle de M. Hermite; seulement la fonction qui joue 

 le rôle d'élément simple sera ici 



où l'on a posé 



Il est clair que celte fonction vérifie les relations 



/■(a- + 2/K')=/(^), 



et qu'elle a un seul pôle à l'intérieur d'un parallélogramme dont les sommets 

 ont pour affixes les quantités 



^., «H ) u-\-2iW, a -f- • h 2;Iv'. 



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